Directa e inversa: cómo saber cuál toca
La regla de tres resuelve una proporción: conoces tres valores relacionados y buscas el cuarto. Todo el problema se reduce a acertar si la relación es directa o inversa, porque la operación cambia por completo.
Es directa cuando al aumentar una magnitud aumenta la otra. Si 3 kg de manzanas cuestan 5,40 €, ¿cuánto cuestan 7 kg? Más kilos, más dinero: 7 × 5,40 ÷ 3 = 12,60 €.
Es inversa cuando al aumentar una, la otra disminuye. Si 4 pintores tardan 9 días en pintar un edificio, ¿cuánto tardan 6? Más pintores, menos días: 4 × 9 ÷ 6 = 6 días.
La prueba que nunca falla es preguntarse antes de calcular: «si esto sube, ¿lo otro sube o baja?». Y después comprobar que el resultado va en esa dirección. Si esperabas menos días y te salen más, has usado la fórmula equivocada.
La regla que resume todo
En la proporción directa, multiplicas en cruz: el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Si a/b = c/x, entonces x = b × c ÷ a.
En la inversa, el producto de cada pareja es constante: a × b = c × x, de donde x = a × b ÷ c. En el ejemplo de los pintores, 4 × 9 = 36 «pintores-día» de trabajo total, una cantidad que no cambia se reparta como se reparta.
Ese concepto de «trabajo total constante» es lo que hace intuitiva la regla inversa y lo que permite detectar cuándo no se puede aplicar.
Cuándo la proporción es una mentira útil
Este es el punto que casi nunca se explica y donde más se usa mal la herramienta. La regla de tres asume que la relación es lineal, y el mundo real casi nunca lo es del todo.
- Si 1 mujer tarda 9 meses en tener un bebé, 9 mujeres no lo tienen en 1 mes. El ejemplo clásico: hay tareas que no se pueden dividir.
- Los rendimientos decrecientes. Doce pintores en un piso pequeño se estorban; a partir de cierto punto, añadir recursos deja de reducir el tiempo.
- Los tramos y umbrales. Si 10 unidades cuestan 100 €, 1.000 unidades rara vez cuestan 10.000 €: hay descuentos por volumen. Y el IRPF no funciona por regla de tres precisamente porque es progresivo por tramos.
- Los costes fijos. Si producir 100 piezas cuesta 500 €, producir 200 no cuesta 1.000 € si hay una parte del coste que no depende del número de piezas.
La regla de tres es una excelente primera aproximación. Deja de serlo en cuanto hay saturación, umbrales, costes fijos o progresividad, que es casi siempre que hay dinero de por medio.
Usos cotidianos donde sí funciona
En estos casos la proporcionalidad se cumple bien y el cálculo es fiable:
- Escalar una receta. Una para 4 personas adaptada a 6: multiplica cada ingrediente por 6/4 = 1,5. Con la excepción conocida de la sal, las especias y los tiempos de horno, que no escalan igual.
- Convertir divisas. Si 1 € son 1,08 dólares, 350 € son 378 dólares. Aquí la proporción es exacta, salvo comisiones.
- Consumo y distancia. Si tu coche gasta 6,2 litros a los 100 km, en un viaje de 430 km gastará 26,66 litros.
- Escalas de planos y mapas. En un plano 1:50, 8 cm sobre el papel son 4 metros reales.
- Reparto proporcional. Dividir un gasto común según lo que ha aportado cada uno.
Proporciones encadenadas
Cuando intervienen tres magnitudes a la vez, se llama regla de tres compuesta y se resuelve por partes. Si 4 máquinas fabrican 800 piezas en 5 horas, ¿cuántas piezas hacen 6 máquinas en 8 horas?
Primero se ajusta por máquinas —relación directa: 800 × 6/4 = 1.200— y después por horas —también directa: 1.200 × 8/5 = 1.920 piezas—. El truco es resolver una magnitud cada vez y decidir para cada una si es directa o inversa, en lugar de intentar montar una sola fórmula.
Preguntas frecuentes
¿Cómo compruebo que mi resultado es correcto?
Con una estimación previa. Antes de calcular, decide si el resultado debe ser mayor o menor que el dato de partida. Si el número final contradice esa expectativa, hay un error de planteamiento.
¿Sirve para calcular porcentajes?
Sí, un porcentaje es una regla de tres con 100 como referencia. «El 15 % de 240» equivale a «si 100 corresponde a 240, ¿a qué corresponde 15?».
¿Y para convertir unidades?
Funciona en conversiones puramente multiplicativas —kilómetros a millas, kilos a libras—. No funciona cuando hay un desplazamiento del origen, como en grados Celsius a Fahrenheit, que necesita sumar 32 además de multiplicar.
¿Por qué mi resultado no cuadra con la realidad?
Casi siempre porque la relación no era proporcional. Revisa si hay costes fijos, mínimos, descuentos por volumen o límites físicos que rompan la linealidad que la regla de tres da por supuesta.